Capítulo 9 - A nona noite

Nesse capítulo, Robert aparece adoentado, com gripe e precisa ficar de cama, mas mesmo assim o diabo faz uma visita em seu quarto, trazendo consigo os números. Robert pensou que era tudo real, pois até o copo de água que tinha em cima do criado-mudo estava lá, mas percebeu que tudo não se passava de um sonho.
O diabo pediu para que os números entrassem e assim se fez, eles entraram marchando. Robert ficou admirado com a quantidade e pensou que pareciam ciclistas ou corredores em alguma maratona, pois cada um tinha o número na camiseta branca. A primeira sequência a entrar foi a dos números comuns: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13..., a segunda a dos números ímpares: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25..., a terceira os números primos: 2,3,5,7,11,13... Rapidamente entraram os restantes. Os de azul eram os números de Bonatchi: 1,1,2,3,5,8,13,21..., os amarelos eram os números triangulares: 1,3,6,10,15,21,28..., os de preto os números saltando: 2,4,8,16,32,64... e finalmente os de rosa, os números BUM!: 1,2,6,24,120,720,5040...
Depois de toda a bagunça, o diabo apresentou para Robert as séries, e ele muito curioso preguntou ao diabo o que são séries, então no teto de seu quarto o diabo foi mostrando como funcionava, utilizando os números que estavam no quarto,
Ao final de todas as explicações, Robert estava tão cansado que o diabo foi embora deixando o garoto descançar.

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Capítulo 6 - A sexta noite

Nesta noite, o diabo dos números e Robert já se viam como grandes amigos, o diabinho confidencia a Robert que ele não era o único, que existiam muitos outros e que ele nem mesmo era o maior, e que às vezes nem entendia o que os outros falavam. O Diabo dos números citou Bonatchi, um dos primeiros sujeitos a compreender o zero. Apesar de não ter sido o inventor, foi ele quem criou os números de Bonatchi, o diabinho apresentou ao menino os primeiros números de Bonatchi, e foi “brincando” mostrando truques que faziam chegar a tais resultados.
Robert estava entendendo, mas não sabia em que utilizaria aqueles números. O diabo dos números explicou que a matemática não era somente para matemáticos, e que até a natureza sabia contar. Deu novamente um exemplo, agora com coelhos, onde começou com um casal de coelhos e um relógio-coelho (onde o tempo passava mais rápido que o normal, fazendo com que eles evoluíssem e reproduzissem rapidamente). A cada vez que o ponteiro mudava de posição os coelhos iam aumentando, O que estava acontecendo de especial era a sequência dos números de Bonatchi, 1,1,2,3,5,8,13,21... Outro exemplo foi o de uma árvore, que vai crescendo aumentando seus galhos. Se observarmos bem, a sequência dos galhos é exatamente os números de Bonatchi.

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Capítulo 9 - A nona noite

Robert está doente, portanto não vai a aula. O garoto não se livra dos sonhos com o diabo dos números e novamente ao adormecer Robert sonha que está sonhando com o diabinho em seu quarto. O diabo diz a Robert que como ele está de cama e precisa repousar não faria nenhuma viagem a algum "lugar estranho”, a aula seria ali mesmo, no quarto.

De repente o diabinho pede para os números entrarem no quarto, e de tantos números que apareceu Robert sentiu que seu quarto estava maior.

Aos poucos foram entrando mais e mais números, uma verdadeira infinidade. Quais eram? Números comuns, números ímpares, números primos, números de Bonatchi, números triangulares, números que saltam e os chamados números Bum! que são os números de possibilidades.

Lendo este capítulo despertou em nós uma certa curiosidade, como por exemplo, quantos números naturais existem? Os números naturais são infinitos. E se pararmos para contá-los, ficaríamos até o dia de São Nunca.

Vamos agora comparar os números ímpares com os números naturais. Podemos pensar que os números ímpares são a metade dos números naturais, já que números naturais são constituídos por números pares e ímpares alternados, não é? Mas o diabinho nos mostra que não é verdade e que isso não acontece! Existe exatamente o mesmo número de cada tipo! A cada número natural, desde um em diante, sempre existe um número ímpar. Podemos concluir a partir daí, que são infinitos os números naturais e infinitos os números ímpares:

Mas não para por aí... O mesmo acontece com os números primos, os números de Bonatchi, os triangulares, os quadrados ou ainda até os BUM! que são os de possibilidades. O diabinho nos mostra que por mais que não pareça estes conjuntos têm o mesmo número de elementos que os números naturais.

Aos poucos vamos descobrindo a infinidade dos números e a quais famílias (conjuntos) cada um pertence. O interessante é que o diabinho não dá respostas prontas, ele coloca as questões para Robert pensar. O mesmo acontece com a criança e o professor, se colocarmos as questões para as crianças e pedirmos para elas pensarem e responderem estaremos criando um raciocínio lógico em cada uma.

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Capítulo 8 - A oitava noite

Robert mais uma vez sonha com o diabo dos números, mas dessa vez eles estavam na escola de Robert. Nesse sonho, Robert aprende que existem várias maneiras de Albert, Betina e Charlie, que são seus amigos, se sentarem.
Primeiramente eram só Albert e Betina, então era fácil de fazer combinações só com os dois, mas depois foi chegando Charlie, Enzio, Felicitas, Gerhard, Heidi, Ivan, Jeannine e Karol e a coisa foi se complicando cada vez mais.
Quando Robert percebeu, lá estavam eles de novo, os números triangulares, ai que foi fácil fazer as contas para saber quantas eram as possiblidades que ele tinha de sentar seus amigos. O diabo desenhou novamente para Robert os côcos e ensinou uma outra maneira de contar as possibilidades, e foi da seguinte maneira:

As linhas significam as possibilidades, então no final era só somar essas linhas. Logo em seguida, o diabo desenhou um triângulo e seus respectivos números. O diabo já ia se arrumando pra ir embora e Robert perguntou-lhe quando voltaria, o diabo respondeu que não iria demorar, mas que por enquanto teria que ficar com seu professor Bockel e Robert não gostou nenhum pouco.

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Capítulo 9 - A nona Noite

A nona noite começa com Robert adoecido, o matemático como bom amigo foi visitá-lo. O diabo prometeu-lhe que devido a sua gripe não iria complicar "a aula" da noite, e de maneira muito engraçada relembrou alguns números já conhecidos anteriormente. Como em um quartel o diabo enfileirou os números como se fossem soldadinhos.

O expert mostrou a Robert que todos os números, tantos os comuns, impares, os primos, os de Bonatchi, os triangulares, os "saltantes", e os chamados BUM!, são INFINITOS, e que podemos misturarmos alguns desses algarismos para fazermos contas. Através das frações, mostrou que o resultado sempre seria infinito se continuássemos dividindo-os e somando-os, e que podemos obter números minúsculos através deles. Ensinou também que entre os algarismos 0 e o 1, existem MILHARES números.

Sabe-se que é muito mais difícil a criança aprender algo somente na teoria, e o mais interessante do livro são as ilustrações que o diabo utiliza para ensinar algo a Robert. Nós pedagogos temos que aprender a trabalhar não somente com aulas expositivas mais principalmente utilizando a dinâmica na aula prática, para conseguir construir com a criança um raciocínio lógico matemático.

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Capítulo 8 - A oitava noite

Neste sonho Robert fica muito feliz, pois seu professor Bockel vem a ser substituído pelo “professor diabo dos números”. A partir de fatos que vão acontecendo na sala de aula, como um troca-troca de lugares o diabinho começa a ensinar as crianças como fazer cálculos de Possibilidades ou Análise combinatória.
O diabinho nos ensina numa forma prática e rápida a fazer esses cálculos, vejam só:

1 pessoa = 1 possibilidade
2 pessoas = 1x2 = 2 possibilidades
3 pessoas = 1x2x3 = 6 possibilidades
4 pessoas = 1x2x3x4 = 24 possibilidades
5 pessoas = 1x2x3x4x5 = 120 possibilidades
(...)
11 pessoas: 11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 39.916.800 possibilidades


Vamos calcular agora com “apertos de mãos” numa despedida de Albert (A), Betina (B) e Charlie (C):

Se tivermos duas pessoas (Albert e Betina), tem-se um aperto de mão AB -->1
Se tivermos três pessoas, A B e C temos:

Ou seja, temos 3 possibilidades.


Mas então surgiu Doris (D), com quatro pessoas, A B C e D temos:

Ele nos ensina a representar esta despedida dos colegas de Robert com desenhos de círculos, escrevendo em cada um, as letras :

Ligando todas as letras umas às outras:

Contando as linhas temos: 1,3 6,10,15,... Ual: os números triangulares!


Depois o diabinho explica a Robert que se três de seus colegas de classe (Albert, Betina e Charlie) ajudassem a limpar o pátio da escola, fariam isso rapidamente. Robert alega que se são 3 (ABC) existe apenas uma possibilidade.
Mas então surge a Doris (D) aumentaria o número de possibilidades, sendo assim 4 possibilidades de formar trio.
Coincidentemente surgiu mais um coleguinha, o Enzio (E), temos então 5 candidatos para limpar o pátio. São agora 10 possibilidades diferentes, vejamos na lousa:

Novamente o diabo também dá exemplos com o Triângulo de Pascal neste capítulo:

No caso dos apertos de mão, temos apenas de contar os cubos verdes de cima para baixo:

Duas pessoas = um aperto de mão
Três pessoas = três apertos de mão
(...)
Onze pessoas = cinqüenta e cinco.


Para o nosso trio de colegas que irão limpar o pátio da escola, precisamos dos cubos vermelhos. Conta-se outra vez de cima para baixo. Começamos com:

Três pessoas = 1 possibilidade
Quatro pessoas = temos 4 combinações possíveis à escolha.
Cinco pessoas = temos 10 combinações possíveis à escolha.


O que é combinação? Dado um certo conjunto chama-se combinação a qualquer um dos seus subconjuntos. Numa combinação, todos os elementos são diferentes, pertencem ao conjunto inicial e não interessa a ordem com que aparecem.


E para que fiquemos mais interagidos com o livro vou deixar aqui uma citação do diabinho:

“Mas é isso que há de diabólico na matemática. Tudo dá certo. Está bem, melhor dizermos, quase tudo. Os números primos, você sabe, tem lá seus truques. E, no mais, tem-se também que prestar uma atenção danada, se não a gente se perde fácil, fácil. Mas, de um modo geral, tudo na matemática é muito bem arrumadinho. É isso que tanta gente detesta nela.”
(HANSBERG, pg. 161)

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Capítulo 9 - A nona noite

Nesse capítulo Robert está doente e de cama, mas nem assim ele recebe folga. O Diabo resolve reforçar os ensinamentos anteriores, como uma revisão, e leva para dentro do quarto do menino números que ele afirma serem inofensivos. Eram tantos números que o quarto de Robert parecia ter aumentado. No meio dessa confusão, o número zero não se sentiu bem e foi dispensado pelo Diabo. Este, com um grito, fez os números se organizarem em fileiras, representada por uma cor cada, em determinada sequência: números comuns, números ímpares, números primos, números de Bonatchi, números triangulares, números saltando, números Bum! (possibilidades).

Através de uma sequência de números ímpares e comuns, o Diabo afirmou para Robert que a quantidade de números ímpares jamais será o dobro da sequência de números comuns, afinal ambos são infinitos.

Após muita confusão, apertos, empurrões, o Diabo dispensou as sete sequências numéricas, mas seguiu com as explicações. Desenhou frações no teto do quarto, e explicou como podemos dividir os números em partes minúsculas.

O Diabo resolve atender ao pedido de Robert, que quer descansar, e desaparece com os números.

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Capítulo 7 - A sétima noite

Nesta noite Robert fica ansioso para ter novos sonhos com o diabo dos números, seu mais novo amigo.
No sonho o garoto auxilia o diabo na construção de uma pirâmide de cubos. Robert muito esperto ao observar tudo aquilo que está a sua frente aplica os conceitos que aprendeu anteriormente, definindo aquilo como um triângulo.
A partir de algumas brincadeiras que o diabinho faz “batendo palmas”, Robert vai redescobrindo os números de Bonatchi e descobrindo o Triângulo de Pascal.
Esta é a pirâmide que Robert construiu juntamente com o diabinho:

Vamos analisar o que eles vão construindo do seguinte modo, escrevemos o nº 1 nos 3 primeiros cubos:

Se tivermos 6 cubos, colocamos no cubo que está embaixo de cada linha a soma dos dois números acima, ex: (1+1 = 2)

E continuamos numerando a pirâmide (2+1 = 3, 6+4 = 10...):

E podemos ir completando, obtendo assim:

Se observarmos com atenção veremos que na 1ª diagonal temos apenas o número 1, na 3ª diagonal temos todos os números triangulares. Podemos compreender como é construído o triângulo, pois dos números triangulares sabemos que:

1 + 2 = 3
              3 + 3 = 6
                             6 + 4 = 10
                                            10 +5 = 15
                                                            15 + 6 = 21

Assim acabamos de construir o famoso triângulo de pascal! Agora veremos algumas propriedades desse triângulo... Se pintarmos o triângulo com cores da seguinte forma:

Vamos analisar as escadinhas que tem a mesma cor, que conduzem, da direita, em cima, para baixo, à esquerda, e somarmos tudo o que encontrarmos com a mesma cor, teremos:

Vermelhos: só 1

Laranja: só 1

Azuis: 1 + 1 = 2

Verdes: 2 + 1 = 3

voltando ao vermelho 1+3+1=5

voltando ao Laranja 3+4+1=8

voltando ao azul 1+6+5+1=13

Assim obtemos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 desta forma o diabinho nos faz recordar os números de Bonatchi.

Para a próxima propriedade vamos apagar alguns números que não interessam, os impares, ficamos com o triângulo só com os números pares:

Vejamos agora muitos triângulos dentro do triângulo. Vamos analisá-los! O triângulo do meio é composto por 6 cubos e o triângulo grande por 28 cubos:

Verificamos também que são os números triangulares pares. Agora se pensarmos, não só, nos pares, mas em todos os números que são divisíveis por 5 obtemos: 

É igual! Isto é, verifica-se do mesmo modo que obtemos novamente os números triangulares. Fantástico, não?

Os sonhos de Robert vão ficando cada vez mais complicados não acha? E o divertido disso tudo é que não só ele, mas nós leitores vamos descobrindo o mundo da matemática e seus segredinhos por meio de brincadeiras. É vivendo e aprendendo.

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Capítulo 5 - A quinta noite

Depois de dias sem a visita do diabo dos números Robert é surpreendido ao encontrar-se num deserto no companhia de seu excêntrico professor. Em cima de uma palmeira, Robert começa a jogar cocos no chão, que inusitadamente formavam desenhos de triângulos no chão. Eles começam a contar o números de cocos em cada triangulo, o que deu: 1, 3,6 e 10.

Após isso o diabo dos números ensina a Robert a deduzir quantos cocos haverá no próximo triângulo com uma simples soma:

1º triângulo = 1 coco.

2º triângulo tem 2 cocos a mais ->  1+2 =3 cocos.

3º triângulo tem 3 cocos a mais ->  3+3 = 6  cocos.

Após essa breve explicação Robert já conseguia deduzir os próximos números da sequencia com facilidade. O diabo explica que esses números são chamados de números triangulares e os ecreve para Robert: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55...

O diabo dos núimeros faz Robert pensar e juntos passam a construir um novo conceito para Robert, que passa a pensar na diferença de dois números triangulares seguidos. Conclui que a diferença são os números naturais em ordem crescente. A partir daí o diabo revela vários segredos desse misteriosos números:

* Qualquer número pode ser formado por dois ou mais números triangulares.

* A soma de dois números tringulares seguidos são quadradros.

* Com esse números você pode realizar contas mais facilmente. Ex: A soma dos números de  1 à 12 é igual ao décimo segundo número triângular.

Para finaçizar a noite o diabo revela a Robert novos números, os quandrangulares, que (como o próprio Robert explicou) são números saltando, os quadrados perfeitos.

 1², 2², 3², 4² ...

Tudo isso é explicado de forma interessante, prendendo a atenção de Robert, despertando sua curiosidade. Eles constroem um raciocinio lógico juntos. O diabo dos numeros faz Robert participar do processo. A cada novo conceito é explicado um como e um porquê, além de perguntas feitas por Robert. Tudo é muito bem exemplificado.

" Na vida normal, nada dá certo, mas na matemática tudo dá certinho." (pg 94)

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