Capítulo 7 - A sétima noite

Nesta noite Robert fica ansioso para ter novos sonhos com o diabo dos números, seu mais novo amigo.
No sonho o garoto auxilia o diabo na construção de uma pirâmide de cubos. Robert muito esperto ao observar tudo aquilo que está a sua frente aplica os conceitos que aprendeu anteriormente, definindo aquilo como um triângulo.
A partir de algumas brincadeiras que o diabinho faz “batendo palmas”, Robert vai redescobrindo os números de Bonatchi e descobrindo o Triângulo de Pascal.
Esta é a pirâmide que Robert construiu juntamente com o diabinho:

Vamos analisar o que eles vão construindo do seguinte modo, escrevemos o nº 1 nos 3 primeiros cubos:

Se tivermos 6 cubos, colocamos no cubo que está embaixo de cada linha a soma dos dois números acima, ex: (1+1 = 2)

E continuamos numerando a pirâmide (2+1 = 3, 6+4 = 10...):

E podemos ir completando, obtendo assim:

Se observarmos com atenção veremos que na 1ª diagonal temos apenas o número 1, na 3ª diagonal temos todos os números triangulares. Podemos compreender como é construído o triângulo, pois dos números triangulares sabemos que:

1 + 2 = 3
              3 + 3 = 6
                             6 + 4 = 10
                                            10 +5 = 15
                                                            15 + 6 = 21

Assim acabamos de construir o famoso triângulo de pascal! Agora veremos algumas propriedades desse triângulo... Se pintarmos o triângulo com cores da seguinte forma:

Vamos analisar as escadinhas que tem a mesma cor, que conduzem, da direita, em cima, para baixo, à esquerda, e somarmos tudo o que encontrarmos com a mesma cor, teremos:

Vermelhos: só 1

Laranja: só 1

Azuis: 1 + 1 = 2

Verdes: 2 + 1 = 3

voltando ao vermelho 1+3+1=5

voltando ao Laranja 3+4+1=8

voltando ao azul 1+6+5+1=13

Assim obtemos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 desta forma o diabinho nos faz recordar os números de Bonatchi.

Para a próxima propriedade vamos apagar alguns números que não interessam, os impares, ficamos com o triângulo só com os números pares:

Vejamos agora muitos triângulos dentro do triângulo. Vamos analisá-los! O triângulo do meio é composto por 6 cubos e o triângulo grande por 28 cubos:

Verificamos também que são os números triangulares pares. Agora se pensarmos, não só, nos pares, mas em todos os números que são divisíveis por 5 obtemos: 

É igual! Isto é, verifica-se do mesmo modo que obtemos novamente os números triangulares. Fantástico, não?

Os sonhos de Robert vão ficando cada vez mais complicados não acha? E o divertido disso tudo é que não só ele, mas nós leitores vamos descobrindo o mundo da matemática e seus segredinhos por meio de brincadeiras. É vivendo e aprendendo.